Question

已知函数f(x)= -ax(a∈R,e为自然对数的底数).

(1)讨论函数f(x)的单调性；

(2)若a=1，函数g(x)=(x-m)f(x)-+x2+x在区间（0，+）上为增函数，求整数m 的最大值.

 

Answer 1

(1)所以在为减函数，在为增函数;(2)最大值为1

【解析】

试题分析：(1)利用函数的单调性与导数的关系；(2)解决类似的问题时，注意区分函数的最值和极值.求函数的最值时，要先求函数在区间内使的点，再计算函数在区间内所有使的点和区间端点处的函数值，最后比较即得.(3)第二问关键是分离参数，把所求问题转化为求函数的最小值问题.(4)若可导函数在指定的区间上单调递增（减），求参数问题，可转化为恒成立，从而构建不等式，要注意“=”是否可以取到.

试题解析： 【解析】
（Ⅰ）定义域为，，

当时，，所以在上为增函数； 2分

当时，由得，且当时，，

当时，

所以在为减函数，在为增函数． 6分

（Ⅱ）当时，，若在区间上为增函数，

则在恒成立，

即在恒成立 8分

令，； ，；

令，可知，，

又当时，

所以函数在只有一个零点，设为，即，

且； 9分

由上可知当时，即；当时，即，

所以，，有最小值， 10分

把代入上式可得，又因为，所以，

又恒成立，所以，又因为为整数，

所以，所以整数的最大值为1． 12分

考点：（1）利用导数求函数的单调性；（2）利用导数求函数的最值问题.