Question

已知数列{a_n}满足a_n+1=2a_n+n+1，n∈N^*．
（1）若{a_n}是等差数列，求其首项a₁和公差d；
（2）证明：{a_n}不可能是等比数列；
（3）若a₁=-1，试比较a_n与（n-2）（n+1）的大小，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）由数列{a_n}满足a_n+1=2a_n+n+1，n∈N^*，推导出a₁=-3，a₂=-4，由此能求出d=-1．
（2）假设{a_n}是等比数列，则a22=a₁a₃，由此推导出a₂a₄≠a₃²，与等比数列的性质相矛盾，从而得到{a_n}不可能是等比数列．
（3）由{a_n}是等差数列，首项a₁=-1，公差d=-1，得到a_n=-n．由此利用作差相减法能比较a_n和（n-2）（n+1）的大小．

解答：解：（1）证明：∵数列{a_n}满足a_n+1=2a_n+n+1，n∈N^*，
∴a₂=2a₁+2，
a₃=2a₂+3=4a₁+7，
∴2a₂=a₁+a₃，
∴a₁=-3，a₂=-4，
∴d=-1．
（2）证明：假设{a_n}是等比数列，则a22=a₁a₃，
∴（2a₁+3）²=a₁（4a₁+7），
∴a₁=-4，a₂=-6，a₃=-9，
又∵a₄=2a₃+4=-14，
∴a₂a₄≠a₃²，与等比数列的性质相矛盾，
∴假设错误．
故{a_n}不可能是等比数列．
（3）∵{a_n}是等差数列，首项a₁=-1，公差d=-1，
∴a_n=-1+（n-1）×（-1）=-n．
∴a_n-（n-2）（n+1）=-n-n²+n+2=2-n²，
∴n=1时，a_n-（n-2）（n+1）=2-n²＞0，a_n＞（n-2）（n+1）；
n=2时，a_n-（n-2）（n+1）=2-n²＜0，a_n＜（n-2）（n+1）．

点评：本题考查等差数列和等比数列的性质和应用，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．