题目内容
【题目】（卷号）2209028400021504
（题号）2209073114537984
（题文）
已知函数
.
（Ⅰ）当
时，求曲线在
处的切线方程；
（Ⅱ）当
时，求
的单调区间；
（Ⅲ）对于曲线上的不同两点
、
，如果存在曲线上的点
，且
，使得曲线在点
处的切线
，则称直线
存在“伴随切线”. 特别地，当
时，又称直线存在“中值伴随切线”.试问：在函数
的图象上是否存在两点
、
，使得直线存在“中值伴随切线”？若存在，求出、的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（Ⅰ）
（Ⅱ）见解析（Ⅲ）不存在
【解析】
（Ⅰ）求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，最后根据点斜式得结果，（Ⅱ）先求导数，再根据导函数零点情况分类讨论，最后根据导函数符号确定单调性，（Ⅲ）根据定义建立方程，转化为对应函数零点问题，利用导数确定函数单调性，根据单调性确定零点满足条件，解得结果.
（Ⅰ）当
时，
（Ⅱ）
所以当
时，
的单调增区间为
，单调减区间为
，
当
时，的单调增区间为和
，单调减区间为
，
（Ⅲ）由题意得
，
所以
因为
，
所以
化简得
令
，
则
因此
，即
，也即不成立，
所以不存在两点
、
，使得直线
存在 “中值伴随切线”.
【题目】如图，三棱柱
中，
平面
，
，
，
，以
，
为邻边作平行四边形
，连接
和
.
（Ⅰ）求证：
平面
；
（Ⅱ）求直线
与平面
所成角的正弦值；
（Ⅲ）线段上是否存在点
，使平面与平面
垂直？若存在，求出
的长；若不存在，说明理由.
【题目】某城市为鼓励人们绿色出行，乘坐地铁，地铁公司决定按照乘客经过地铁站的数量实施分段优惠政策，不超过
站的地铁票价如下表：
乘坐站数 |
|
|
|
票价（元） |
|
|
|
现有甲、乙两位乘客同时从起点乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过
站.甲、乙乘坐不超过
站的概率分别为
， 
；甲、乙乘坐超过
站的概率分别为
， 
.
（1）求甲、乙两人付费相同的概率；
（2）设甲、乙两人所付费用之和为随机变量
，求
的分布列和数学期望.
