题目内容
【题目】已知
， 
， 
.
（1）讨论函数
的单调性；
（2）记
，设
， 
为函数
图象上的两点，且
.
（i）当
时，若
在
， 
处的切线相互垂直，求证： 
；
（ii）若在点
， 
处的切线重合，求
的取值范围.
【答案】（1）见解析（2）
【解析】试题分析：（1）先求函数导数，转化为研究导函数零点，即方程
=0的根的情况，当
，导函数不变号，在
上单调递减，当
时，有两个不等根，列表分析导函数符号变化规律，确定对应单调区间，（2）（i）利用导数几何意义化简条件： 
在
， 
处的切线相互垂直，得
，利用基本不等式证明不等式，（ii）先分别求出切线方程，再根据切线重合得
，消元
得
，利用导数研究函数
， 
单调性，确定函数
值域，进而确定
的取值范围.
试题解析：解：（1）
，则
，
当
即
时， 
， 
在
上单调递减，
当
时即
时， 
，
此时
在
和
上都是单调递减的，在
上是单调递增的；
（2）（i）
，据题意有
，又
，
则
且
， 
，
法1： 
，
当且仅当
即
， 
时取等号.
法2： 
， 
，
当且仅当
时取等号.
（ii）要在点
处的切线重合，首先需要在点
处的切线的斜率相等，
而
时， 
，则必有
，即
， 
，
处的切线方程是： 
处的切线方程是： 
，
即
，
据题意则
， 
，
设
， 
， 
，
设
， 
在
上恒成立，
则
在
上单调递增
，
则
， 
在
上单调递增，
则
，再设
， 
，
， 
在
上单调递增， 
，
则
在
恒成立，
即当
时， 
的值域是
，
故
，即为所求.
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