Question

【题目】设常数在平面直角坐标系中,已知点直线曲线与轴交于点A与交于点分别是曲线与线段AB上的动点.

(1)用表示点B到点F的距离；

(2)若且求的值；

(3)设且存在点P、Q,使得是等边三角形,求的边长.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）3

【解析】

（1）运用平面内两点间距离公式求解；（2）由条件可知四边形AFPQ为正方形，转化为边长相等，即可得到m的解；（3）设出P，Q坐标利用|PF|＝|FQ|求出t，即可求出两点坐标，进而求出边长．

解：（1）由，可得B（，m），

又F（0，），

∴|BF|m﹣1，

（2）由且，

则四边形AFPQ为正方形，

∵F（0，），A（0，m），P（1，），

∴|AF|＝m，|FP|＝1，

∴m1，

即m1，

（3）由可得B（，2），

设点Q（t，2），则||FQ|，（0≤t），

设P（x0，y0），则|PF|，

∵△FPQ是等边三角形，

∴|PF|＝|FQ|，即，即，

代入曲线方程得，

∵|QF|2＝|QP|2，t2+2＝（）2+（）2，

解得t2＝7，

|FQ|3

△FPQ的边长为3．