Question

已知函数是偶函数．
（1）求实数的值；
（2）设函数，若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数的取值范围．

Answer 1

（1），（2）.

解析试题分析：（1）因为函数是偶函数，所以有等量关系，本题难点在化简对数式，由易得，关键会化简，（2）本题第一个难点是化简方程，即，这里主要会化简从而再利用对数性质运算得：；第二个难点是“方程只有一个根”转化为“二次方程只有一个正根”，这需明确指数函数的范围，即；第三个难点是分类讨论二次方程只有一个正根的情形的等价条件.主要是两个不等根的情况讨论,需结合运用韦达定理.
试题解析：解：（1）由题意知：任意有，
即恒成立．
∴恒成立，化简得对恒成立，∴．      5分
（2）∵函数与的图象有且只有一个公共点，
∴方程有且只有一个实根，
化简得：方程有且只有一个实根，
令，则方程有且只有一个正根.                  7分
①当时，不合题意；                                           8分
②当时，
(ⅰ)若，则.
若，则不合题意；若，则合题意；                  10分
(ⅱ)若即时，
由题意，方程有一个正根与一个负根，即，解得，∴.       12分
综上所述，实数的取值范围是.                              13分
考点：偶函数性质应用，二次方程根的个数.