Question

【题目】△ABC的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，则： ①若cosBcosC＞sinBsinC，则△ABC一定是钝角三角形；
②若acosA=bcosB，则△ABC为等腰三角形；
③ ， ，若 ，则△ABC为锐角三角形；
④若O为△ABC的外心， ；
⑤若sin2A+sin2B=sin2C， ，
以上叙述正确的序号是 ．

Answer 1

【答案】①③④⑤
【解析】解：①若cosBcosC＞sinBsinC，则cosBcosC﹣sinBsinC=cos（B+C）＞0，

即﹣cosA＞0，cosA＜0，则∠A为钝角，故△ABC一定是钝角三角形，正确．②若acosA=bcosB，则由正弦定理得2rsinAcosA=2rsinBcosB，即sin2A=sin2B，则2A=2B或2A+2B=180，即A=B或A+B=90°，则△ABC为等腰三角形或直角三角形，错误；③ ， ，

则 =tanA+tanB+tanC=（1﹣tanAtanB）tan（A+B）+tanC＞0

tan（A+B）+tanC＞tanAtanBtan（A+B）0＞tanAtanBtan（A+B）

∴必有A+B＞ ，且A，B都为锐角

∴C也必为锐角，

∴△ABC为锐角三角形，正确，④O为△ABC的外心， = （ ﹣ ）= ﹣ ，

=| || |cos＜ ， ＞﹣| || |cos＜ ， ＞= | |2﹣ | |2= （b2﹣c2），正确，⑤若sin2A+sin2B=sin2C，则由正弦定理得a2+b2=c2，则△ABC是直角三角形，

∴（ ﹣ ）（ ﹣ ）=0，

∴ ﹣ （ + ）+ =0，∴ =﹣2 ，

∵﹣ = + ，∴ 2= 2+ 2+2 ，∴5 2= 2+ 2，即结论成立．

所以答案是①③④⑤．