Question

【题目】已知A，B分别为椭圆C： + =1（a＞b＞0）在x轴正半轴，y轴正半轴上的顶点，原点O到直线AB的距离为 ，且|AB|= ．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）直线l：y=kx+m（﹣1≤k≤2）与圆x2+y2=2相切，并与椭圆C交于M，N两点，求|MN|的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：由丨AB丨= = ， = ，

解得：a=2，b= ，c=1

则椭圆离心率e= =

（2）解：由（1）可知：椭圆的标准方程： ，设A（x1，y1），B（x2，y2），

则 ，整理得：（3k2+4）x2+6kmx+3m2﹣12=0，

x1+x2=﹣ ，x1x2= ，

由直线l与圆x2+y2=2相切，则 = ，则m2=2（k2+1），

则丨MN丨= = ，

= ，

令3k2+4=t，t∈[4，16]，则丨MN丨= = ，

由 ≤ ≤ ，

∴f（ ）= ，在[ ， ]单调递增，

则 ≤丨MN丨≤ ，

∴|MN|的取值范围[ ， ]

【解析】（1）由题意，利用点到直线的距离公式，即可求得a和b的值，利用椭圆的离心率公式，即可求得椭圆C的离心率；（2）利用点到直线的距离公式，m2=2（k2+1），将直线方程代入椭圆方程，根据韦达定理，弦长公式及二次函数的单调性即可求得|MN|的取值范围．