Question

【题目】已知函数f（x）=|x﹣1|
（Ⅰ）解不等式f（2x）+f（x+4）≥8；
（Ⅱ）若|a|＜1，|b|＜1，a≠0，求证： ．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）解：f（2x）+f（x+4）=|2x﹣1|+|x+3|= ，

当x＜﹣3时，由﹣3x﹣2≥8，解得x≤﹣ ；

当﹣3 时，由﹣x+4≥8，解得x∈；

当x≥ 时，由3x+2≥8，解得x≥2

所以，不等式f（2x）+f（x+4）≥8的解集为{x|x≤﹣ 或x≥2}

（Ⅱ）证明： 等价于f（ab）＞|a|f（ ），即|ab﹣1|＞|a﹣b|，

因为|a|＜1，|b|＜1，

所以|ab﹣1|2﹣|a﹣b|2=（a2b2﹣2ab+1）﹣（a2﹣2ab+b2）=（a2﹣1）（b2﹣1）＞0，

所以，|ab﹣1|＞|a﹣b|，故所证不等式成立

【解析】（Ⅰ）依题意，f（2x）+f（x+4）=|2x﹣1|+|x+3|= ，利用分段函数分段解不等式f（2x）+f（x+4）≥8，即可求得其解集．（Ⅱ）|a|＜1，|b|＜1， f（ab）＞|a|f（ ）|ab﹣1|＞|a﹣b|，要证该不等式成立，只需证明|ab﹣1|2﹣|a﹣b|2＞0即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解绝对值不等式的解法的相关知识，掌握含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号．