Question

【题目】已知函数，，且与的图象有一条斜率为1的公切线（e为自然对数的底数）.

（1）求；

（2）设函数，证明：当时，有且仅有2个零点.

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析

【解析】

（1）根据导数的几何意义，分别求出函数图象上斜率为1的切线，再根据切线方程为同一方程即可求出；

（2）根据第一问结果可得，，求导，换元，令，通过二次函数知识判断的符号，得其单调性，求出极值，再结合零点存在性定理即可求出．

（1）令，可得，.

在处的切线方程为，即.

令，，，

在处的切线方程为，即，

故，

可得.

（2）证明：由（1）可得，

，

令，则，，

当时，有两根，且，

由，得，

在上，，在上，，

此时，.

又时，，时，.

故在和上，各有1个零点.

所以时，有2个零点.