Question

规定，其中x∈R，m是正整数，且C＝1这是组合数C(n、m是正整数，且m≤n)的一种推广．

(1)  求C的值；

(2) 组合数的两个性质：是否都能推广到C(x∈R，m∈N^*)的情形？若能推广，则写出推广的形式并给予证明；若不能，则说明理由；

(3) 已知组合数C是正整数，求证：当x∈Z，m是正整数时，C∈Z.

Answer 1

 (1) 解：C＝＝－＝－11 628.

(2) 解：C＝C不能推广，例如x＝时，有定义，但无意义；

C＋C＝C能推广，它的推广形式为C＋C＝C，x∈R，m∈N^*.

证明如下：当m＝1时，有C＋C＝x＋1＝C；

当m≥2时，有C＋C＝＝＝C.

(3) 证明：当x≥0时，组合数C∈Z；当x<0时，

∵ －x＋m－1>0，∴ C＝

＝(－1)^m

＝(－1)^mC∈Z.