Question

17．已知棱长为2正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，点P是棱DD₁的中点；
（1）求证：$\overrightarrow{D{B_1}}⊥$$\overrightarrow{AC}$
（2）求平面A₁BD与平面C₁BD夹角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）以D为原点，DA、DC、DD₁为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能证明DB₁⊥AC．
（2）求出平面A₁BD的法向量和平面C₁BD的法向量，利用向量法能求出平面A₁BD与平面C₁BD夹角的余弦值．

解答 证明：（1）以D为原点，DA、DC、DD₁为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
由棱长为2，得A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），
D（0，0，0）A₁（2，0，2），B₁（2，2，2），C₁（0，2，2），D₁（0，0，2），
∴$\overrightarrow{D{B_1}}=（{2，2，2}）$，$\overrightarrow{A{C_{\;}}}=（{-2，2，0}）$
∴$\overrightarrow{D{B_1}}•\overrightarrow{AC}=-4+4+0=0$，
∴$\overrightarrow{D{B_1}}⊥\overrightarrow{AC}$，∴DB₁⊥AC．
解：（2）设平面A₁BD的法向量为$\overrightarrow{n_1}=（{{x_1}，{y_1}，{z_1}}）$，
$\overrightarrow{D{A_1}}=（2，0，2）$，$\overrightarrow{DB}=（2，2，0）$
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{D{A}_{1}}=0}\\{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{DB}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}2{x_1}+2{z_1}=0\\ 2{x_1}+2{y_1}=0\end{array}\right.$，取x₁=1，得$\overrightarrow{n_1}=（{1，-1，-1}）$
设平面C₁BD的法向量为$\overrightarrow{n_2}=（{{x_2}，{y_2}，{z_2}}）$，$\overrightarrow{D{C_1}}=（0，2，2）$，$\overrightarrow{DB}=（2，2，0）$
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{2}}•\overrightarrow{D{C}_{1}}=0}\\{\overrightarrow{{n}_{2}}•\overrightarrow{DB}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}2{y_2}+2{z_2}=0\\ 2{x_2}+2{y_2}=0\end{array}\right.$，取x₂=1，得$\overrightarrow{n_2}=（{1，-1，1}）$
记求平面A₁BD与平面C₁BD夹角为θ，
则$cosθ=|{\frac{{{n_1}•{n_2}}}{{|{n_1}|•|{n_2}|}}}|=\frac{1+1-1}{{\sqrt{3•\sqrt{3}}}}=\frac{1}{3}$，
∴平面A₁BD与平面C₁BD夹角的余弦值为$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查异面直线垂直的证明，考查面面夹角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．