Question

已知数列{a_n}满足a₁=

1

5

，且当n＞1，n∈N^*时，有

an-1

an

=

2an-1+1

1-2an

，
（1）求证：数列{

1

an

}为等差数列；
（2）试问数列{a_n}中的任意两项a_m、a_k（m，k∈N*）的积a_m•a_k是否仍是数列{a_n}中的项？如果是，是第几项（用m，k表示）；如果不是，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）把原递推关系式整理可得a_n-1-a_n=4a_n-1a_n，进而得到

1

an

-

1

an-1

=4，可证：数列{

1

an

}为等差数列；
（2）先利用（1）求的通项代入a_m•a_k整理即可判断a_m•a_k是否仍是数列{a_n}中的项．

解答：解：（1）由

an-1

an

=

2an-1+1

1-2an

得，a_n-1-a_n=4a_n-1a_n，则

1

an

-

1

an-1

=4
所以，数列{

1

an

}为等差数列（6分）
（2）由（1）得

1

an

=

1

a1

+4(n-1)=4n+1，an=

1

4n+1

．（8分）
所以am•ak=

1

4m+1

•

1

4k+1

=

1

(4m+1)(4k+1)

=

1

4(4mk+m+k)+1

，
所以a_m•a_k是数列{a_n}中的第（4mk+m+k）项．（14分）

点评：本题是对数列递推关系式的应用．其中涉及到了判断某一项是否为数列中的项的问题，在判断某一项是否为数列中的项时，我们只要看其是否符合通项公式即可得出结论．