题目内容

已知定义域为R的函数f（x）对任意实数x，y满足f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy，且 $数学公式$ ．
（1）求 $数学公式$ 及 $数学公式$ 的值；
（2）求证：f（x）为奇函数且是周期函数．

解：（1）在f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy中，
取 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，…（3分）
又已知 $\text{[math]}$ ，
所以 $\text{[math]}$ ．…（4分）
在f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy中，
取x=π， $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，…（7分）
又已知 $\text{[math]}$ ，
所以 $\text{[math]}$ ．…（8分）
证明：（2）在f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy中，
取x=0，
得f（0+y）+f（0-y）=2f（0）cosy，
又已知f（0）=0，
所以f（y）+f（-y）=0，
即f（-y）=-f（y），
f（x）为奇函数．…（11分）
在f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy中，
取 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ ，
于是有 $\text{[math]}$ ，
所以 $\text{[math]}$ ，
即f（x+2π）=f（x），
f（x）是周期函数．…（14分）
分析：（1）在f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy中取 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，再由 $\text{[math]}$ ，知 $\text{[math]}$ ．在f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy中取x=π， $\text{[math]}$
得 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，由此能求出 $\text{[math]}$ 及 $\text{[math]}$ 的值．
（2）在f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy中，取x=0得f（0+y）+f（0-y）=2f（0）cosy，由f（0）=0，知f（x）为奇函数．在f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy中取 $\text{[math]}$ 得 $\text{[math]}$ ，故 $\text{[math]}$ ，由此能够证明f（x）是周期函数．
点评：本题考查抽象函数的性质和应用，难度较大．解题时要认真审题，注意赋值法的合理运用．