题目内容

证明柯西不等式：

．

 

答案：
解析：

证明：∵ (a i x－bi) 2≥0（对于x∈R）　　　　   

∴ (a 1 x－b1) 2+(a 2 x－b2) 2+…+ (a n x－bn) 2≥0

对于x∈R恒成立．

也就是：

对于x∈R恒成立．

∵＞0，（a1，a2，…an不全为零）

∴

即：

当a1 = a2 = … = a n = 0．显然成立．

 


练习册系列答案
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（2012•厦门模拟）本小题设有（1）（2）（3）三个选考题，每题7分，请考生任选两题作答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分．
（1）选修4-2：矩阵与变换
已知e1=
1
1
是矩阵M=
a
 1
0
 b
属于特征值λ1=2的一个特征向量．
（I）求矩阵M；
（Ⅱ）若a=
2
1
，求M10a．
（2）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，A（l，0），B（2，0）是两个定点，曲线C的参数方程为
AB
为参数）．
（I）将曲线C的参数方程化为普通方程；
（Ⅱ）以A（l，0为极点，|
AB
|为长度单位，射线AB为极轴建立极坐标系，求曲线C的极坐标方程．
（3）选修4-5：不等式选讲
（I）试证明柯西不等式：（a2+b2）（x2+y2）≥（ax+by）2（a，b，x，y∈R）；
（Ⅱ）若x2+y2=2，且|x|≠|y|，求
1
(x+y
)
2
 
+
1
(x-y
)
2
 
的最小值．

证明柯西不等式的推论：设a1 ，a2 ，… a n为正实数

则：

 

（I）试证明柯西不等式：

（II）已知，且，求的最小值．

 
本小题设有（1）（2）（3）三个选考题，每题7分，请考生任选两题作答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分．
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已知是矩阵属于特征值λ1=2的一个特征向量．
（I）求矩阵M；
（Ⅱ）若，求M10a．
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在平面直角坐标系xOy中，A（l，0），B（2，0）是两个定点，曲线C的参数方程为为参数）．
（I）将曲线C的参数方程化为普通方程；
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（I）试证明柯西不等式：（a2+b2）（x2+y2）≥（ax+by）2（a，b，x，y∈R）；
（Ⅱ）若x2+y2=2，且|x|≠|y|，求的最小值．

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