Question

4．在四边形ABCD中，若$\overrightarrow{AB}$$•\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{BC}$$•\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{CD}$$•\overrightarrow{DA}$=$\overrightarrow{DA}$$•\overrightarrow{AB}$，则四边形ABCD的形状是（　　）

• A． 矩形
• B． 菱形
• C． 平行四边形
• D． 任意四边形

Answer 1

分析 把给出的向量等式变形，可得（$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CD}$）•$\overrightarrow{BC}$=0，（$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CD}$）•$\overrightarrow{DA}$=0，有$\overrightarrow{BC}$∥$\overrightarrow{AD}$，从而得到AD∥BC．同理可得AB∥CD．再由（$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CD}$）•$\overrightarrow{BC}$=0，$\overrightarrow{AB}$∥$\overrightarrow{CD}$，
得AB⊥BC，则四边形ABCD为矩形．

解答 解：由$\overrightarrow{AB}$$•\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{BC}$$•\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{CD}$$•\overrightarrow{DA}$=$\overrightarrow{DA}$$•\overrightarrow{AB}$，
得（$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CD}$）•$\overrightarrow{BC}$=0，（$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CD}$）•$\overrightarrow{DA}$=0，
∴$\overrightarrow{BC}$∥$\overrightarrow{AD}$，即AD∥BC．
同理有AB∥CD，则四边形ABCD为平行四边形，
又（$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CD}$）•$\overrightarrow{BC}$=0，$\overrightarrow{AB}$∥$\overrightarrow{CD}$，
∴AB⊥BC，则四边形ABCD为矩形．
故选：A．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查了平面向量的加减法，是中档题．