Question

如图在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=

2

2

AD．
（1）求证：面PAB⊥平面PDC； 
（2）求二面角B-PD-C的余弦值．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）根据面面垂直的判定定理即可证明面PAB⊥平面PDC； 
（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可求二面角B-PD-C的余弦值．

解答： 解：（1）如图，取AD的中点O，连结OP，OF．
∵PA=PD，∴PO⊥AD．
∵侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PO⊥平面ABCD，
而O，F分别为AD，BD的中点，∴OF∥AB，
又ABCD是正方形，故OF⊥AD．
∵PA=PD=

2

2

AD，∴PA⊥PD，OP=OA=

a

2

．
以O为原点，向量，为x，y，z轴建立空间直线坐标系，
则有A(

a

2

，0，0)，F(0，

a

2

，0)，D(-

a

2

，0，0)，P(0，0，

a

2

)，B(

a

2

，a，0)，C(-

a

2

，a，0)．
∵E为PC的中点，∴E(-

a

4

，

a

2

，

a

4

)
（1）∵

PA

=(

a

2

，0，-

a

2

)，=（0，-a，0）∴??=（，0，-）?（0，-a，0）=0，
∴

PA

⊥

CD

，从而PA⊥CD，又PA⊥PD，PD∩CD=D，
∴PA⊥平面PDC，而PA?平面PAB，
∴平面PAB⊥平面PDC．           
（2）由（1）知平面PDC的法向量为

PA

=(

a

2

，0，-

a

2

)．
设平面PBD的法向量为

n

=(x，y，z)．
∵=（，0，）?，=（-a，-a，0）
∴由

n

•

DP

=0，

n

•

BD

=0可得
取x=1，则y=-1，z=-1，故=（1，-1，-1）
∴cos＜

n

，

PA

＞=

n • PA

| n || PA |

=

a

2 2 a× 3

=

6

3

，
即二面角B-PD-C的余弦值为

6

3

．

点评：本题主要考查平面和平面垂直的判定以及空间二面角的计算，建立空间直角坐标系，利用向量法是解决本题的关键．