Question

如图，一组蜂巢的截面图，其中第一个图甲有一个蜂巢，第二个图乙有7个蜂巢，第三个图丙有19个蜂巢，按此规律，以f（n）表示第n个图蜂巢总数，则f（4）=

 

；f（n）=

 

（n∈N₊）．

Answer 1

考点：归纳推理

专题：规律型,等差数列与等比数列

分析：根据图象的规律可得相邻两项的差的规律可分析得出f（n）-f（n-1）=6（n-1），进而根据合并求和的方法求得f（n）的表达式．

解答： 解：由于f（2）-f（1）=7-1=6，
f（3）-f（2）=19-7=2×6，
f（4）-f（3）=37-19=3×6，
f（5）-f（4）=61-37=4×6，…
因此，当n≥2时，有f（n）-f（n-1）=6（n-1），
所以f（n）=[f（n）-f（n-1）]+[f（n-1）-f（n-2）]+…+[f（2）-f（1）]+f（1）=6[（n-1）+（n-2）+…+2+1]+1=3n²-3n+1．
又f（1）=1=3×1²-3×1+1，所以f（n）=3n²-3n+1．
当n=4时，f（4）=3×4²-3×4+1=37．
故答案为：37；3n²-3n+1．

点评：本题主要考查了数列的问题、归纳推理．属于基础题．