Question

【题目】已知正三棱柱， 是的中点．

求证：（1）平面；

（2）平面平面．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】试题分析：（1）连接，交于点，连结，由棱柱的性质可得点是的中点，根据三角形中位线定理可得，利用线面平行的判定定理可得平面；（2）由正棱柱的性质可得平面，于是，再由正三角形的性质可得，根据线面垂直的判定定理可得平面，从而根据面面垂直的判定定理可得结论.

试题解析：（1）连接，交于点，连结，

因为正三棱柱，

所以侧面是平行四边形，

故点是的中点，

又因为是的中点，

所以，

又因为平面， 平面，

所以平面．

（2）因为正三棱柱，所以平面，

又因为平面，所以，

因为正三棱柱， 是的中点，

是的中点，所以，

又因为，所以平面，

又因为平面，

所以平面 平面．

【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、线面垂直及面面垂直的证明，属于中档题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是就是利用方法①证明的.