Question

【题目】已知函数f（x）=x3+ax2+bx有两个极值点x1、x2 ， 且x1＜x2 ， 若x1+2x0=3x2 ， 函数g（x）=f（x）﹣f（x0），则g（x）（ ）
A.恰有一个零点
B.恰有两个零点
C.恰有三个零点
D.至多两个零点

Answer 1

【答案】B
【解析】解：f（x）=x3+ax2+bx，求导，f′（x）=3x2+2ax+b，由函数f（x）有两个极值点x1、x2，

则x1、x2是方程3x2+2ax+b=0的两个根，则x1+x2=﹣ ，x1x2= ，

∴a=﹣ ，①

由x1+2x0=3x2，则x0= =x2+ ＞x2，

由函数图象可知：令f（x1）=f（x）的另一个解为m，

则x3+ax2+bx﹣f（x1）=（x﹣x1）2（x﹣m），

则 ，则m=﹣a﹣2x1，

将①代入②整理得：m= ﹣2x1= =x0，∴f（x）=f（m）=f（x0），

∴g（x）只有两个零点，即x0和m，

所以答案是：B．

【考点精析】本题主要考查了函数的极值与导数的相关知识点，需要掌握求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值才能正确解答此题．