Question

【题目】如图所示, 是圆柱的母线, 是圆柱底面圆的直径, 是底面圆周上异于的任意一点, .

(1)求证: ；

(2)求三棱锥体积的最大值,并写出此时三棱锥外接球的表面积.

Answer 1

【答案】(1)见解析；(2) .

【解析】试题分析：（1）由圆柱易知平面，所以，由圆的性质易得，进而可证平面；

（2）由已知得三棱锥的高,当直角的面积最大时,三棱锥的体积最大,当点在弧中点时最大, 此时外接球的直径即可得解.

试题解析：

(1)证明:∵已知是圆柱的母线,.∴平面

∵是圆柱底面圆的直径, 是底面圆周上异于的任意一点,

∴,又,∴平面

又平面

(2)解:由已知得三棱锥的高,当直角的面积最大时,

三棱锥的体积最大,当点在弧中点时最大,

,

结合(1)可得三棱锥的外接球的直径即为,

所以此时外接球的直径.

.