Question

13．设F₁，F₂分别为双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得∠F₁PF₂=60°，|OP|=2b，（O为坐标原点），则该双曲线的离心率为（　　）

• A． $\frac{4}{3}$
• B． $\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$
• C． $\frac{7}{6}$
• D． $\frac{{\sqrt{42}}}{6}$

Answer 1

分析 利用双曲线的定义与余弦定理可得到a²与c²的关系，从而可求得该双曲线的离心率．

解答 解：设该双曲线的离心率为e，依题意，||PF₁|-|PF₂||=2a，
∴|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁|•|PF₂|=4a²，
不妨设|PF₁|²+|PF₂|²=m，|PF₁|•|PF₂|=n，
上式为：m-2n=4a²，①
∵∠F₁PF₂=60°，
∴在△F₁PF₂中，
由余弦定理得，|F₁F₂|²=|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁|•|PF₂|•cos60°=4c²，②
即m-n=4c²，②
又|OP|=3b，$\overrightarrow{P{F}_{1}}$+$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=2$\overrightarrow{PO}$，
∴$\overrightarrow{P{F}_{1}}$²+$\overrightarrow{P{F}_{2}}$²+2|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|•|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|•cos60°=4|$\overrightarrow{PO}$|²=36b²，
即|PF₁|²+|PF₂|²+|PF₁|•|PF₂|=36b²，
即m+n=36b²，③
由②+③得：2m=4c²+36b²，
①+③×2得：3m=4a²+72b²，
于是有12c²+108b²=8a²+144b²，
3c²=2a²+9b²=2a²+9c²-9a²，
∴$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{7}{6}$，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{42}}{6}$．
故选：D．

点评 本题考查双曲线的定义与余弦定理的应用，得到a²与c²的关系是关键，也是难点，考查分析问题和解决问题的能力，属于中档题．