题目内容
8．已知a∈R，函数f（x）=x3-ax2+ax+a，g（x）=f（x）+（a-3）x．（1）求证：曲线y=f（x）在点（1，f（x））处的切线过定点；
（2）若g（1）是g（x）在区间（0，3]上的极大值，但不是最大值，求实数a的取值范围．
分析 （1）求出函数的导数，计算f′（1），f（1），求出求出方程，从而求出定点即可；
（2）求出g（x）的导数，根据g（1）是g（x）在区间（0，3]上的极大值，不是最大值，得到关于a的不等式，解出即可．
解答 （1）证明：∵f'（x）=3x2-2ax+a，∴f'（1）=3-a…（1分）
∵f（1）=a+1，∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-（a+1）=（3-a）（x-1），…（2分）
即a（x-2）=3x-y-2，令x=2，则y=4，
故曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线过定点（2，4）…（3分）
（2）解：g'（x）=f'（x）+a-3=3x2-2ax+2a-3=（x-1）[3x-（2a-3）]，
令g'（x）=0得x=1或$x=\frac{2a-3}{3}$…（4分）
∵g（1）是g（x）在区间（0，3]上的极大值，∴$\frac{2a-3}{3}＞1$，∴a＞3…（5分）
令g'（x）＞0，得x＜1或$x＞\frac{2a-3}{3}，g（x）$递增；令g'（x）＜0，得$1＜x＜\frac{2a-3}{3}，g（x）$递减，
∵g（1）不是g（x）在区间（0，3]上的最大值，
∴g（x）在区间（0，3]上的最大值为g（3）=18-2a，…（6分）
∴g（3）=18-2a＞g（1）=2a-2，∴a＜5，又a＞3，∴3＜a＜5…（7分）
点评 本题考查了函数的单调性、极值、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．
练习册系列答案
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| A． | 若a⊥α，b∥β，a⊥b，则α⊥β | B． | 若a⊥α，b∥β，a∥b，则α∥β | ||
| C． | 若a⊥α，a∥β，则α⊥β | D． | 若a∥β，b∥β，则α∥b |
19．已知函数f（x）=|x+m|-|x+2|，若不等式f（x）+x≤0的解集为A，且[-1，1]⊆A，则实数m的取值范围为（ ）
| A． | （-1，1） | B． | [-1，1] | C． | （-1，1] | D． | [-1，1） |
16．圆锥的母线长为L，过顶点的最大截面的面积为$\frac{1}{2}{L}^{2}$，则圆锥底面半径与母线长的比$\frac{r}{L}$的取值范围是（ ）
| A． | 0$＜\frac{r}{L}＜\frac{1}{2}$ | B． | $\frac{1}{2}≤\frac{r}{L}＜1$ | C． | 0$＜\frac{r}{L}＜\frac{\sqrt{2}}{2}$ | D． | $\frac{\sqrt{2}}{2}≤\frac{r}{L}＜1$ |
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| A． | $\sqrt{2}$f（-$\frac{π}{3}$）＜f（$\frac{π}{4}$） | B． | $\sqrt{2}$f（-$\frac{π}{3}$）＜f（-$\frac{π}{4}$） | C． | f（0）$＞\sqrt{2}$f（-$\frac{π}{4}$） | D． | f（$\frac{π}{4}$）$＜\sqrt{3}$f（$\frac{π}{3}$） |
20．集合M={x|x2＜2x}，N={x|log2（x-1）≤0}，则M∩N=（ ）
| A． | （1，2） | B． | （1，2] | C． | [1，2） | D． | （0，2） |
17．已知双曲线C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1的离心率等于$\frac{{\sqrt{5}}}{2}$，且点$（{\sqrt{5}，\frac{1}{2}}）$在双曲线C上，则双曲线C的方程为（ ）
| A． | $\frac{y^2}{16}-\frac{x^2}{4}=1$ | B． | ${y^2}-\frac{x^2}{4}=1$ | C． | $\frac{y^2}{4}-{x^2}=1$ | D． | $\frac{x^2}{4}-{y^2}=1$ |