Question

设平面内的向量，，，点P在直线OM上，且．
（Ⅰ）求的坐标；
（Ⅱ）求∠APB的余弦值；
（Ⅲ）设t∈R，求的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（I）由点P在直线OM上，可知与共线，利用向量共线的充要条件得到有代入，利用向量的数量积公式列出关于x的方程，求出的坐标；
（II）由（I）可求得，利用向量模的坐标公式求出它们的模，代入．
利用数量积公式求出∠APB的余弦值；
（III）利用向量模的坐标公式将表示成关于t的二次函数，然后求出其最小值．
解答：解：（Ⅰ）设．
由点P在直线OM上，可知与共线．
而=（2，2），
所以2x-2y=0，即x=y，有．
由，，
所以，
即．
又，所以2x²-4x-14=16．
可得x=5或-3．
所以或（-3，-3）．…（4分）
当时，
满足，
当时，
不满足，
所以
（Ⅱ）由，
可得．
又．
所以．…（8分）
（Ⅲ），．
当时，的最小值是． …（12分）
点评：本题考查平面向量共线定理，平面向量数量积的坐标表示，二次函数的单调性及最值的求解，向量夹角的坐标表示．熟练掌握向量的基础知识并能灵活运用是解决问题的关键．