Question

设平面内的向量

OA

=(1，7)，

OB

=(5，1)，

OM

=(2，1)，点P是直线OM上的一个动点，求当

PA

•

PB

取最小值时，

OP

的坐标及∠APB的余弦值．

Answer 1

分析：可设

OP

=（x，y），由

OP

与

OM

共线可得x=2y，进而可得

PA

•

PB

=5y²-20y+12，可知当y=2时取最小值，可得

OP

的坐标，而∠APB的余弦值等于

PA • PB

| PA || PB |

，代入坐标可求．

解答：解：由题意，可设

OP

=（x，y），∵点P在直线OM上，
∴

OP

与

OM

共线，而

OM

=(2，1)，
∴x-2y=0，即x=2y，故

OP

=（2y，y），
又

PA

=

OA

-

OP

=（1-2y，7-y），

PB

=

OB

-

OP

=（5-2y，1-y），
所以

PA

•

PB

=（1-2y）（5-2y）+（7-y）（1-y）=5y²-20y+12，
当y=-

-20

2×5

=2时，

PA

•

PB

=5y²-20y+12取最小值-8，
此时

OP

=（4，2），

PA

=（-3，5），

PB

=（1，-1），
∴cos∠APB=

PA • PB

| PA || PB |

=

-8

34 2

=-

4 17

17

点评：本题考查向量共线的条件，向量的坐标运算，数量积的坐标表示，向量的模的求法及利用数量积计算夹角的余弦，综合性强，属中档题．