题目内容
设平面内的向量| OA |
| OB |
| OM |
| PA |
| PB |
（Ⅰ）求
| OP |
（Ⅱ）求∠APB的余弦值；
（Ⅲ）设t∈R，求|
| OA |
| OP |
分析：（I）由点P在直线OM上，可知
与
共线，利用向量共线的充要条件得到有
=(x，x)代入
•
=16，利用向量的数量积公式列出关于x的方程，求出
的坐标；
（II）由（I）可求得
=(-6，-8)，
=(0，-2)，利用向量模的坐标公式求出它们的模，代入
•
=16．
利用数量积公式求出∠APB的余弦值；
（III）利用向量模的坐标公式将|
+t
|表示成关于t的二次函数，然后求出其最小值．
| OP |
| OM |
| OP |
| PA |
| PB |
| OP |
（II）由（I）可求得
| PA |
| PB |
| PA |
| PB |
利用数量积公式求出∠APB的余弦值；
（III）利用向量模的坐标公式将|
| OA |
| OP |
解答：解：（Ⅰ）设
=(x，y)．
由点P在直线OM上，可知
与
共线．
而
=（2，2），
所以2x-2y=0，即x=y，有
=(x，x)．
由
=
-
=(-1-x，-3-x)，
=
-
=(5-x，3-x)，
所以
•
=(-1-x)(5-x)+(-3-x)(3-x)，
即
•
=2x2-4x-14．
又
•
=16，所以2x2-4x-14=16．
可得x=5或-3．
所以
=(5，5)或（-3，-3）．…（4分）
当
=(5，5)时，
=(-6，-8)，
=(0，-2)满足
•
=16，
当
=(3，3)时，
=(-4，-6)，
=(2，0)不满足
•
=16，
所以
=(5，5)
（Ⅱ）由
=(-6，-8)，
=(0，-2)，
可得|
|=10，|
|=2．
又
•
=16．
所以cos∠APB=
=
=
．…（8分）
（Ⅲ）
+t
=(-1+5t，-3+5t)，|
+t
|=
．
当t=
时，|
+t
|的最小值是
． …（12分）
| OP |
由点P在直线OM上，可知
| OP |
| OM |
而
| OM |
所以2x-2y=0，即x=y，有
| OP |
由
| PA |
| OA |
| OP |
| PB |
| OB |
| OP |
所以
| PA |
| PB |
即
| PA |
| PB |
又
| PA |
| PB |
可得x=5或-3．
所以
| OP |
当
| OP |
| PA |
| PB |
| PA |
| PB |
当
| OP |
| PA |
| PB |
| PA |
| PB |
所以
| OP |
（Ⅱ）由
| PA |
| PB |
可得|
| PA |
| PB |
又
| PA |
| PB |
所以cos∠APB=
| ||||
|
|
| 16 |
| 10×2 |
| 4 |
| 5 |
（Ⅲ）
| OA |
| OP |
| OA |
| OP |
| 50t2-40t+10 |
当t=
| 2 |
| 5 |
| OA |
| OP |
| 2 |
点评：本题考查平面向量共线定理，平面向量数量积的坐标表示，二次函数的单调性及最值的求解，向量夹角的坐标表示．熟练掌握向量的基础知识并能灵活运用是解决问题的关键．
练习册系列答案
相关题目