Question

已知直线l：y=k（x+2

2

）与圆O：x²+y²=4相交于不重合的A、B两点，O是坐标原点，且三点A、B、O构成三角形．
（1）求k的取值范围；
（2）三角形ABO的面积为S，试将S表示成k的函数，并求出它的定义域；
（3）求S的最大值，并求取得最大值时k的值．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：综合题,直线与圆

分析：（1）三点A、B、O构成三角形，则0＜

2 2 |k|

k2+1

＜2，从而可求k的取值范围；
（2）求出|AB|，表示出三角形的面积，即可得到S表示成k的函数；
（3）换元，利用配方法，即可求S的最大值．

解答： 解：（1）由题意，d_OM=

2 2 |k|

k2+1

，
∵三点A、B、O构成三角形，
∴0＜

2 2 |k|

k2+1

＜2，
∴-1＜k＜1且k≠0；
（2）直线l：y=k（x+2

2

），即kx-y+2

2

k=0，
∴d_OM=

2 2 |k|

k2+1

，
∴|AB|=2

4-( 2 2 |k| k2+1 )2

=4

1-k2 1+k2

，
∴S=

1

2

|AB|d_OM=

1

2

•=4

1-k2 1+k2

•

2 2 |k|

k2+1

=

4 2 • k2(1-k2)

1+k2

（-1＜k＜1且k≠0）；
（3）设k²+1=t（t≥1），则S=4

2

•

-t2+3t-2

t

=4

2

•

-2( 1 t - 3 4 )2+ 1 8

，
∴

1

t

=

3

4

，即t=

4

3

时，k=±

3

3

，S_max=4

2

•

1

2 2

=2，
∴S的最大值为2，取得最大值时k=±

3

3

．

点评：本题考查点到直线的距离公式的运用，考查三角形面积的计算，考查换元法、配方法，考查学生的计算能力，属于中档题．