Question

20．已知函数的方程为f（x）=-x⁴+2x²+3，x∈[-3，2]，
（1）求函数在此区间上的极值；
（2）求函数在此区间上的最值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；
（2）根据函数的单调性求出函数的端点值和函数的极值，通过比较求出函数的最值即可．

解答 解：（1）f′（x）=-4x³+4x=-4x（x+1）（x-1），x∈[-3，2]，
令f′（x）＞0，解得：x∈[-3，-1）∪（0，1），
令f′（x）＜0，解得：x∈（-1，0）∪（1，2]，
故f（x）在[-3，-1）递增，在（-1，0）递减，在（0，1）递增，在（1，2]递减，
故f（x）的极大值是f（-1）和f（1），而f（-1）=f（1）=4，
故函数的极大值是4，
f（x）的极小值是f（0）=3；
（2）由（1）f（-3）=-60，f（2）=-5，
而函数的极大值是4，f（x）的极小值是f（0）=3；
故函数的最小值-60，最大值4．

点评 本题考查了函数的单调性、最值、极值问题，考查导数的应用，是一道基础题．