题目内容
如图，PD是圆柱的母线，AC和BD是圆柱底面圆的互相垂直的两条直径，PD=DC，点E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F（1）求证：PB⊥平面EFD；（2）求二面角C-PB-D的大小．
【答案】分析：（1）证明PB垂直于平面EFD内的2条相交直线EF和DE．
（2）先证明∠EFD是二面角C-PB-D的平面角，解Rt△PDB，求出该角的余弦值，从而求出该角的大小．
解答：
解：（1）因为PD是圆柱的母线，AC和BD是圆柱底面圆的互相垂直的两条直径，
所以PD⊥平面ABCD，PD⊥BC，四边形ABCD是正方形，BC⊥CD，
所以BC⊥平面PDC，又DE?平面PDC，
所以DE⊥BC，因为PD=DC，点E是PC的中点，所以DE⊥PC，
于是DE⊥平面PBC，有DE⊥PB，由EF⊥PB，EF∩DE=E，
得PB⊥平面EFD．
（2）由（1）知，PB⊥平面EFD，所以PB⊥DF，∠EFD是二面角C-PB-D的平面角，
设PD=DC=a，有
，
在Rt△PDB中，
，
在Rt△PCB中，
，
得
，
于是
，
所以∠EFD=60°．于是二面角C-PB-D的大小为60°．
点评：本题考查线面垂直的判定方法，及求二面角的大小的方法．
（2）先证明∠EFD是二面角C-PB-D的平面角，解Rt△PDB，求出该角的余弦值，从而求出该角的大小．
解答：
解：（1）因为PD是圆柱的母线，AC和BD是圆柱底面圆的互相垂直的两条直径，所以PD⊥平面ABCD，PD⊥BC，四边形ABCD是正方形，BC⊥CD，
所以BC⊥平面PDC，又DE?平面PDC，
所以DE⊥BC，因为PD=DC，点E是PC的中点，所以DE⊥PC，
于是DE⊥平面PBC，有DE⊥PB，由EF⊥PB，EF∩DE=E，
得PB⊥平面EFD．
（2）由（1）知，PB⊥平面EFD，所以PB⊥DF，∠EFD是二面角C-PB-D的平面角，
设PD=DC=a，有
，在Rt△PDB中，
，在Rt△PCB中，
，得
，于是
，所以∠EFD=60°．于是二面角C-PB-D的大小为60°．
点评：本题考查线面垂直的判定方法，及求二面角的大小的方法．
练习册系列答案
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