Question

如图，A₁A是圆柱的母线，AB是圆柱底面圆的直径，C是底面圆周上异于A、B的任=A意一点，A₁A=AB=2．
（1）求证：BC⊥平面A₁AC；
（2）求三棱锥A₁-ABC的体积的最大值．

Answer 1

分析：（1）欲证BC⊥平面AA₁C，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证BC与平面AA₁C内两相交直线垂直，而BC⊥AC，AA₁⊥BC，AA₁∩AC=A满足定理条件；
（2）设AC=x，在Rt△ABC中，求出BC，根据体积公式VA₁-ABC=

1

3

S_△ABC•AA₁表示成关于x的函数，根据二次函数求出其最大值．

解答：解：（1）证明：∵C是底面圆周上异于A、B的任意一点，且AB是圆柱底面圆的直径，
∴BC⊥AC．
∵AA₁⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴AA₁⊥BC．
∵AA₁∩AC=A，AA₁?平面AA₁C，AC?平面AA₁C，
∴BC⊥平面AA₁C．
（2）设AC=x，在Rt△ABC中，
BC=

AB2-AC2

=

4-x2

（0＜x＜2），
故VA₁-ABC=

1

3

S_△ABC•AA₁=

1

3

•

1

2

•AC•BC•AA₁
=

1

3

x

4-x2

（0＜x＜2），
即VA₁-ABC=

1

3

x

4-x2

=

1

3

x2(4-x2)

=

1

3

-(x2-2)2+4

．
∵0＜x＜2，0＜x²＜4，∴当x²=2，即x=

2

时，
三棱锥A₁-ABC的体积最大，其最大值为

2

3

点评：本小题主要考查直线与平面垂直，以及棱柱、棱锥、棱台的体积等基础知识，考查空间想象能力，运算能力和推理论证能力．