题目内容
如图，PD是圆柱的母线，AC和BD是圆柱底面圆的互相垂直的两条直径，PD=DC，点E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F（1）求证：PB⊥平面EFD；（2）求二面角C-PB-D的大小．
分析：（1）证明PB垂直于平面EFD内的2条相交直线EF和DE．
（2）先证明∠EFD是二面角C-PB-D的平面角，解Rt△PDB，求出该角的余弦值，从而求出该角的大小．
（2）先证明∠EFD是二面角C-PB-D的平面角，解Rt△PDB，求出该角的余弦值，从而求出该角的大小．
解答：
解：（1）因为PD是圆柱的母线，AC和BD是圆柱底面圆的互相垂直的两条直径，
所以PD⊥平面ABCD，PD⊥BC，四边形ABCD是正方形，BC⊥CD，
所以BC⊥平面PDC，又DE?平面PDC，
所以DE⊥BC，因为PD=DC，点E是PC的中点，所以DE⊥PC，
于是DE⊥平面PBC，有DE⊥PB，由EF⊥PB，EF∩DE=E，
得PB⊥平面EFD．
（2）由（1）知，PB⊥平面EFD，所以PB⊥DF，∠EFD是二面角C-PB-D的平面角，
设PD=DC=a，有DE=
a，
在Rt△PDB中，DF=
=
a，
在Rt△PCB中，
=
，
得EF=
a，
于是cos∠EFD=
=
，
所以∠EFD=60°．于是二面角C-PB-D的大小为60°．
解：（1）因为PD是圆柱的母线，AC和BD是圆柱底面圆的互相垂直的两条直径，所以PD⊥平面ABCD，PD⊥BC，四边形ABCD是正方形，BC⊥CD，
所以BC⊥平面PDC，又DE?平面PDC，
所以DE⊥BC，因为PD=DC，点E是PC的中点，所以DE⊥PC，
于是DE⊥平面PBC，有DE⊥PB，由EF⊥PB，EF∩DE=E，
得PB⊥平面EFD．
（2）由（1）知，PB⊥平面EFD，所以PB⊥DF，∠EFD是二面角C-PB-D的平面角，
设PD=DC=a，有DE=
| ||
| 2 |
在Rt△PDB中，DF=
| PD•DB |
| PB |
| ||
| 3 |
在Rt△PCB中，
| EF |
| BC |
| PE |
| PB |
得EF=
| ||
| 6 |
于是cos∠EFD=
| EF2+DF2-DE2 |
| 2EF•DF |
| 1 |
| 2 |
所以∠EFD=60°．于是二面角C-PB-D的大小为60°．
点评：本题考查线面垂直的判定方法，及求二面角的大小的方法．
练习册系列答案
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