Question

3．已知数列{a_n}为等差数列．首项a₁=α．公差d≠0，且a_n ≠0（n∈N₊），b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+2}}$．求数列{b_n}前n项和S_n．

Answer 1

分析 通过裂项可知b_n=$\frac{1}{2d}$（$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n}+2d}$），进而并项相加即得结论．

解答 解：依题意，a_n=a₁+（n-1）d=a+（n-1）d，
∴b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+2}}$
=$\frac{1}{{a}_{n}（{a}_{n}+2d）}$
=$\frac{1}{2d}$（$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n}+2d}$），
∴S_n=$\frac{1}{2d}$（$\frac{1}{{a}_{1}}$-$\frac{1}{{a}_{1}+2d}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$-$\frac{1}{{a}_{2}+2d}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n}+2d}$）
=$\frac{1}{2d}$（$\frac{1}{{a}_{1}}$-$\frac{1}{{a}_{1}+2d}$+$\frac{1}{{a}_{1}+d}$-$\frac{1}{{a}_{1}+3d}$+…+$\frac{1}{{a}_{1}+（n-1）d}$-$\frac{1}{{a}_{1}+（n+1）d}$）
=$\frac{1}{2d}$（$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{1}+d}$-$\frac{1}{{a}_{1}+nd}$-$\frac{1}{{a}_{1}+（n+1）d}$）
=$\frac{1}{2d}$（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{a+d}$-$\frac{1}{a+nd}$-$\frac{1}{a+（n+1）d}$）．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，注意解题方法的积累，属于中档题．