Question

【题目】在正四棱柱中，E为AD的中点.

（1）在线段上是否存在点F，使得平面平面？并说明理由；

（2）设，，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）存在，详见解析（2）

【解析】

（1）找到的中点F，分别证出平面与平面，即可证明平面平面﹔

（2）以D为坐标原点，DA，DC，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，写出B，E，C，点的坐标，再分别求出平面与平面的法向量，利用空间向量的夹角公式求出二面角的余弦值.

解：（1）存在，当F为的中点时，平面平面.

因为为正四棱柱，

所以，.

又因为平面，平面，

所以平面，

又因为E为AD的中点，F为的中点，

所以且.

连接AF，故四边形为平行四边形，

所以.

又因为平面，平面，

所以平面，

又因为，平面，

平面，所以平面平面.

（2）以D为坐标原点，DA，DC，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示.

又因为，，

所以，，，，

所以，，.

设平面的法向量为，则，即.

令，解得，

所以，

同理可求得平面的一个法向量为.

所以.

所以二面角的余弦值为﹒