Question

【题目】已知函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）当时，对于任意，总存在，使得，求实数的值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）3

【解析】

（1）分类讨论，求得函数的导数，利用导数与单调性的关系，即可求解；

（2）把对于任意，总存在，使得，转化为，结合函数的单调性，分类讨论，即可求解.

（1）由题意，函数，

当时，，则

由，则，所以函数在上单调递增；

当时，，则，

由，令，即，解得或，

令，即，解得，

当时，即时，

函数的单调递减区间为，单调单调区间为；

当时，即，

函数的单调递减区间为，单调递增区间为.

（2）由对于任意，总存在，使得，

等价于，

由（1）得，当时，在上单调递减，在上单调递增，

所以，，

所以，所以；

当时，在上单调递减，在上单调递增，

所以，，

当时，，则，得（舍去）；

当时，，则，即，

其中，而，所以无解，舍去.

综上所述，.