Question

【题目】已知函数，.

(1)求函数的单调区间与极值.

(2)当时，是否存在，使得成立？若存在，求实数的取值范围，若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）分类讨论，详见解析；（2）.

【解析】

（1）求出函数的定义域，接着求导，对参数分类讨论。

（2）假设存在，使得成立，则对，满足，将问题转化为求与。

解：（1），

当时，恒成立，即函数的单调增区间为，无单调减区间，所以不存在极值．

当时，令，得,当时，，当时，，

故函数的单调增区间为，单调减区间为，此时函数在处取得极大值，极大值为，无极小值．

综上，当时，函数的单调增区间为，无单调减区间，不存在极值．当时，函数的单调增区间为，单调减区间为，极大值为，无极小值

（2）当时，假设存在，使得成立，则对，满足

由可得，

.

令，则，所以在上单调递增，所以，所以，所以在上单调递增，

所以

由（1）可知，①当时，即时，函数在上单调递减，所以的最小值是．

②当，即时，函数在上单调递增，

所以的最小值是．

③当时，即时，函数在上单调递增，在上单调递减.又，所以当时，在上的最小值是.当时，在上的最小值是

所以当时，在上的最小值是，故，

解得,所以．

当时，函数在上的最小值是，故，

解得，所以.故实数的取值范围是