Question

9．已知函数f（x）=lnx-$\frac{a（x-1）}{x}$（a∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）求证：?x∈（1，2），不等式$\frac{1}{lnx}$-$\frac{1}{x-1}$＜$\frac{1}{2}$恒成立．

Answer 1

分析 （Ⅰ）函数的定义域是（0，+∞），求出导数，分a≤0和a＞0两种情况讨论导数的符号，得到单调区间．
（Ⅱ）将要证的不等式等价转化为F（x）＞0在区间（1，2）上恒成立，利用导数求出F（x）的最小值，只要最小值大于0即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），
∴$f'（x）=\frac{x-a}{x^2}$，
①若a≤0，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增，
②若a＞0，当x∈（0，a）时，f′（x）＜0，f（x）在（0，a）单调递减．
当x∈（a，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（a，+∞）单调递增．
（Ⅱ）证明：∵1＜x＜2，
∴lnx＞0，x-1＞0，
$要证\frac{1}{lnx}-\frac{1}{x-1}＜\frac{1}{2}$
只需证$\frac{1}{lnx}＜\frac{1}{2}+\frac{1}{x-1}$，
即证$\frac{1}{lnx}＜\frac{x+1}{2（x-1）}$，
即证（x+1）lnx-2（x-1）＞0，
令F（x）=（x+1）lnx-2（x-1），
则${F^/}（x）=lnx+\frac{（x+1）}{x}-2=lnx+\frac{1}{x}-1$，
由（Ⅰ）知，当a=1时f_min（x）=f（1）=0，
∴f（x）＞f（1），即$lnx+\frac{1}{x}-1≥0$．
∴F'（x）≥0，则F（x）在（1，2）上单调递增，
∴F（x）＞F（1）=0，
故?x∈（1，2），不等式$\frac{1}{lnx}$-$\frac{1}{x-1}$＜$\frac{1}{2}$恒成立．

点评 本题考查利用导数求函数的单调区间即单调性，函数的零点及函数恒成立问题，要证F（x）＞0，只要证F（x）的最小值大于0．