Question

17．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦点为F，A（1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）为椭圆上一点，AF交y轴于点M，且M为AF的中点．
（I）求椭圆C的方程；
（II）直线l与椭圆C有且只有一个公共点A，平行于OA的直线交l于P，交椭圆C于不同的两点D，E，问是否存在常数λ，使得|PA|²=λ|PD|•|PE|，若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （I）由题意可知：在△AFF₁中，OM∥AF₁，求得c=1，由A（1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）为椭圆上一点，代入即可求得a和b的值，求得椭圆方程；
（II）设直线DE的方程为$y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}x+t$，代入椭圆方程，求得关于x的一元二次方程，由韦达定理可知：${x_1}+{x_2}=-\sqrt{2}t，{x_1}•{x_2}={t^2}-1$，求得|PD|•|PE|，由直线l和DE方程，求得P点坐标，求得|PA|²，即可求得λ的值．

解答 解：（Ⅰ）设椭圆的右焦点是F₁，在△AFF₁中，OM∥AF₁，
∴c=1，…（2分）
∵A（1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）为椭圆上一点，
∴$\frac{{b}^{2}}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，a²=b²+1，
∴a=$\sqrt{2}$，b=1，
∴椭圆的方程为$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$…（4分）
（Ⅱ）设直线DE的方程为$y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}x+t$，解方程组$\left\{{\begin{array}{l}{y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}x+t}\\{\frac{x^2}{2}+{y^2}=1}\end{array}}\right.$，消去y得到${x^2}+\sqrt{2}tx+{t^2}-1=0$，
设D（x₁，y₁）E（x₂，y₂），则${x_1}+{x_2}=-\sqrt{2}t，{x_1}•{x_2}={t^2}-1$，其中△=4-2t²＞0…（6分）
$|{PD}|•|{PE}|={（\sqrt{1+{{（\frac{{\sqrt{2}}}{2}）}^2}}）^2}|{{x_P}-{x_1}}|•|{x{\;}_P-{x_2}}|=\frac{3}{2}|{{x_P}^2-{x_P}（{{x_1}+{x_2}}）+{x_1}{x_2}}|$，
又直线l的方程为$\frac{x}{2}+\frac{{\sqrt{2}y}}{2}=1$，直线DE的方程为$y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}x+t$，…（8分）
所以P点坐标${x_P}=\frac{{2-\sqrt{2}t}}{2}，{y_P}=\frac{{2+\sqrt{2}t}}{{2\sqrt{2}}}$，
∴$|{PD}|•|{PE}|=\frac{3}{4}{t^2}，{|{AP}|^2}={（{\frac{{2-\sqrt{2}t}}{2}-1}）^2}+{（{\frac{{2+\sqrt{2}t}}{{2\sqrt{2}}}-\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）^2}=\frac{3}{4}{t^2}$，
∴存在常数λ=1使得|PA|²=λ|PE|•|PD|…（12分）

点评 本题考查了椭圆的几何性质的应用问题，考查了直线与椭圆方程位置关系，考查韦达定理，弦长公式的综合应用，考查计算能力，属于中档题．