Question

已知复数z=

1

2

+

3

2

i，ω=

2

2

+

2

2

i．求复数zω+zω³的模及辐角主值．

Answer 1

分析：先把复数化为三角形式，代入复数zω+zω³并化简，再求模；
也可以直接代入复数zω+zω³，按复数乘除运算即可．

解答：解法一：将已知复数化为复数三角形式：z=

1

2

+

3

2

i=cos

π

3

+isin

π

3

，ω=

2

2

+

2

2

i=cos

π

4

+isin

π

4

依题意有zω+zω₃
=（cos

7π

12

+isin

7π

12

）+（cos

13π

12

+isin

13π

12

）
=（cos

7π

12

+cos

13π

12

）+i（sin

7π

12

+sin

13π

12

）
=2cos

π

4

（cos

5π

6

+isin

5π

6

）
故复数zω+zω³的模为

2

，辐角主值为

5π

6

．
解法二：zω+zω³
=zω（1+ω²）
=（

1

2

+

3

2

i）（

2

2

+

2

2

i）（1+i）
=

2

（-

3

2

i+

1

2

i）
=

2

（cos

5π

6

+isin

5π

6

）

点评：本小题主要考查复数的基本概念、复数的运算等基础知识，考查利用三角公式进行变形的技能和运算能力．