Question

14．如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分线段PC，且分别交AC、PC于D、E两点，PB=BC，PA=AB=1．
（1）求证：PC⊥平面BDE；
（2）求三棱锥E-BCD的外接球的表面积．

Answer 1

分析 （1）由已知可得DE⊥PC，BE⊥PC，由线面垂直的判定定理可得：PC⊥平面BDE；
（2）三棱锥E-BCD的外接球的球心即线段BC的中点，BC是球的直径，进而得到答案．

解答 （12分）
（1）证明：∵DE垂直平分线段PC，
∴DE⊥PC，
又由PB=BC，PE=CE，
∴BE⊥PC，
又由BE，DE?平面BDE，BE∩DE=E，
∴PC⊥平面BDE
（2）解：连接BD，
由（1）中PC⊥平面BDE得：PC⊥BD，
PA⊥平面ABC得：PA⊥BD，
又由PA，PC?平面PAC，PA∩PC=P，
∴BD⊥平面PAC，
∴BD⊥AC，
而BE⊥PC，
故三棱锥E-BCD的外接球的球心即线段BC的中点，BC是球的直径，
∵BC=$\sqrt{2}$，
∴三棱锥E-BCD的外接球的表面积S=2π．

点评 本题考查的知识点是直线与平面垂直的判定定理，球内接多面体，球的体积与表面积，难度中档．