Question

已知二次函数f（x）的最小值为-4且关于x的不等式f（x）＜0的解集为{x|-1≤x≤3，x∈R}，
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数g（x）=

f(x)

x

-lnx的零点个数．

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断,函数解析式的求解及常用方法,利用导数研究函数的极值

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）根据二次函数的大小，方程，与函数的解析式的关系，求解系数．
（2）g′（x）=1+

3

x2

-

4

x

=

(x-1)(x-3)

x2

．根据导数判断单调性即可求解．

解答： 解：（1）f（x）是二次函数，且关于x的不等式f（x）的解集为
{x|-1≤x≤3，x∈R}，∴f（x）=a（x+1）（x-3）=ax²-2ax-3a，且a＞0．
a＞0，f（x）=a[（x-1）²-4]≥-4且f（1）=-4a，∴f（x）_min=-4a=-4，a=-1，
故函数f（x）的解析式为f（x）=x²-2x-3
（2）g（x）=

x2-2x-3

x

-4lnx=x-

3

x

-4lnx-2，（x＞0），∴g′（x）=1+

3

x2

-

4

x

=

(x-1)(x-3)

x2

．
x，g′（x），g（x）的取值变化情况如下：

x	（0，1）	1	（1，3）	3	（3，+∞
g′（x）	+	0	-	0	+
g（x）	单调增加	极大值	单调减少	极小值	单调增加

当0＜x≤3时，g（x）≤g（1）=-4＜0；又g（e⁵）=e⁵-

3

e5

-20-2＞2⁵-1-22=9．
故函数g（x）只有1个零点，且零点x₀∈（3，e⁵）．

点评：本题考查了函数解析式的求解，导数的运用，属于综合题，难度较大