Question

已知椭圆的离心率．直线x=t（t＞0）与曲线E交于不同的两点M，N，以线段MN为直径作圆C，圆心为C．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若圆C与y轴相交于不同的两点A，B，且△ABC的面积为，求圆C的标准方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）由椭圆 的离心率 ，知 ．由此能求出椭圆E的方程．（2）依题意，圆心为C（t，0），（0＜t＜2）．由得．所以圆C的半径为．由圆C与y轴相交于不同的两点A，B，且圆心C到y轴的距离d=t，知，即，所以弦长由此能求出ABC的面积的最大值．
解答：解：（1）∵椭圆的离心率，∴．解得a=2．
∴椭圆E的方程为．．…（4分）
（2）依题意，圆心为C（t，0），（0＜t＜2）．
由得．∴圆C的半径为．
∵圆C与y轴相交于不同的两点A，B，且圆心C到y轴的距离d=t，
∴，即．
∴弦长．
∴△ABC的面积．∴
∴圆C的标准方程为． …（13分）
点评：本题考查椭圆的方程和三角形的面积的最大值，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．