Question

【题目】焦点在轴上的椭圆经过点，椭圆的离心率为．，是椭圆的左、右焦点，为椭圆上任意点．

（1）若面积为，求的值；

（2）若点为的中点（为坐标原点），过且平行于的直线交椭圆于两点，是否存在实数，使得；若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在满足条件.

【解析】

（1）先求出椭圆方程，设，利用余弦定理可得的关系，结合面积可求的值，从而得到的值.

（2）分别设直线的方程为、直线的方程为，联立直线的方程和椭圆的方程，消去后得到关于的方程，利用弦长公式和韦达定理可求，联立直线的方程和椭圆方程可求出的坐标后可得，两者联立后可求的值.

解：（1）由已知可得，，，

解得，，

所以椭圆的标准方程为．

设，，，

由余弦定理得，又，

故即，又，

所以即 ，，故，所以.

（2）若直线的斜率不存在时，，，

所以.

当直线的斜率存在时，设直线的方程为，

设，．

联立直线与椭圆方程，消去y，得，

所以．

因为，设直线的方程为，

联立直线与椭圆方程，消去，得，解得．

，

，

同理，，

因为，

，故，存在满足条件，

综上可得，存在满足条件．