Question

【题目】设椭圆M:的左顶点为、中心为，若椭圆M过点，且 ．

（1）求椭圆M的方程；

（2）若△APQ的顶点Q也在椭圆M上，试求△APQ面积的最大值；

（3）过点作两条斜率分别为的直线交椭圆M于两点，且，求证：直线恒过一个定点．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】（1）由，可知，

又点坐标为故，可得，　

因为椭圆M过点，故，可得，

所以椭圆M的方程为．　　　　　　　　　

（2）AP的方程为，即，

由于是椭圆M上的点，故可设，

所以

当，即时，取最大值．

故的最大值为．

法二：由图形可知，若取得最大值，则椭圆在点处的切线必平行于，且在直线的下方．

设方程为，代入椭圆M方程可得，

由，可得，又，故．

所以的最大值． 　　　

（3）直线方程为，代入，可得

，，

又故，，　

同理可得，，又且，可得且，

所以，，，

直线的方程为，

令，可得．

故直线过定点．　　　　　　　　　　　　　　　　　

（法二）若垂直于轴，则，

此时与题设矛盾．

若不垂直于轴，可设的方程为，将其代入，

可得，可得，

又，

可得，

故，

可得或，又不过点，即，故．

所以的方程为，故直线过定点．