Question

5．在三棱锥S-ABC中，平面SAB⊥平面SBC，BC⊥SA，AS=AB，过A作AP⊥SB，垂足为F，点E、G分别是棱SA，SC的中点
求证：（1）平面EFG∥平面ABC；
（2）AB⊥BC．

Answer 1

分析 （1）由三角形中位线性质得EF∥AB，从而EF∥平面ABC，同理：FG∥平面ABC，由此能证明平面EFG∥平面ABC．
（2）由已知条件推导出AF⊥BC，利用BC⊥SA，由此能证明BC⊥面SAB，即可证明AB⊥BC．

解答 证明：（1）∵AS=AB，AF⊥SB，∴F是SB的中点，
∵E、F分别是SA、SB的中点，
∴EF∥AB，
又∵EF?平面ABC，AB⊆平面ABC，
∴EF∥平面ABC，
同理：FG∥平面ABC，
又∵EF∩FG=F，EF、FG⊆平面ABC，
∴平面EFG∥平面ABC．
（2）∵平面SAB⊥平面SBC，平面SAB∩平面SBC=SB，AF?平面SAB，
∴AF⊥SB，
∴AF⊥平面SBC，
又∵BC?平面SBC，∴AF⊥BC，
∵BC⊥SA，SA∩AF=A，SA、AF?平面SAB，
∴BC⊥面SAB，
∵AB?面SAB，
∴BC⊥AB．

点评 本题考查平面与平面平行的证明，考查线面平行的证明，考查线面垂直的判定与性质，注意空间思维能力的培养．