Question

已知直线l：y=2x-2与抛物线M：y=x²的切线m平行
（I）求切线m的方程和切点A的坐标
（II）若点P是直线l上的一个动点，过点P作抛物线M的两条切线，切点分别为B，C，同时分别与切线m交于点E，F试问是否为定值？若是，则求之，若不是，则说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求函数y=x²的导函数，由切线的斜率等于2求出切点坐标，则切线方程可求；
（Ⅱ）设出点P，切点B，C，由导数得到过B，C的切线方程，两切线方程联立解得点P，由此可以得到B，C的横坐标与P点坐标s，t的关系，由两点式写出BC的方程，则点A（1，1）到直线BC的距离可求，同样把BC的长度转化为含有s，t及B，C横坐标的代数式，然后由P在直线y=2x-2上用s表示t，则三角形ABC的面积化为，再由两条切线和（Ⅰ）中求出的切线m联立解出E，F，由两点间的距离公式求出|EF|，作比后进行约分，最终可证得为定值．
解答：解：解：（I）设切点，切线斜率k=2x，
∴2x=2，x=1
∴A（1，1），切线m的方程为y=2x-1；
（II）设P（s，t），切点，
∵y^′=2x，
∴切线PB，PC的方程分别是y=2x₁x，y=
联立方程组，得交点P（），即
∵点P在直线l：y=2x-2上，即t=2s-2，2s-t=2
又∵直线BC的方程为y=（x₁+x₂）x-x₁x₂=2sx-t
∴点A（1，1）到直线BC的距离
又由得x²-2sx+t=0．
∴．
∴   
联立方程组，得交点，
联立方程组，得交点．
∴=
∴．
点评：本题考查了直线与圆锥曲线的关系，训练了利用导数求曲线上某点的切线方程，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、面积问题，考查了数形结合、分类讨论、函数与方程的数学思想方法．是有一定难度题目．