题目内容

3．已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若对于任意实数对（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使x1x2+y1y2=0成立，则称集合M是“垂直对点集”，给出下列四个集合：
①M={（x，y）|y=$\frac{1}{{x}^{2}}$}；
②M={（x，y）|y=sinx+1}；
③={（x，y）|y=2x-2}；
④M={（x，y）|y=log2x}
其中是“垂直对点集”的序号是（　　）
A．②③④B．①②④C．①③④D．①②③

分析 利用数形结合的方法解决，根据题意，若集合M={（x，y）|y=f（x）}是“垂直对点集”，就是在函数图象上任取一点A，得直线OA，过原点与OA垂直的直线OB，若OB总与函数图象相交即可．

解答 解：由题意，若集合M={（x，y）|y=f（x）}满足：
对于任意A（x1，y1）∈M，存在B（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，
因此$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$．所以，若M是“垂直对点集”，
那么在M图象上任取一点A，过原点与直线OA垂直的直线OB总与函数图象相交于点B．
对于①：M={（x，y）|y=$\frac{1}{{x}^{2}}$}，其图象是过一、二象限，且关于y轴对称，
所以对于图象上的点A，在图象上存在点B，使得OB⊥OA，所以①符合题意；
对于②：M={（x，y）|y=sinx+1}，画出函数图象，
在图象上任取一点A，连OA，过原点作直线OA的垂线OB，
因为y=sinx+1的图象沿x轴向左向右无限延展，且与x轴相切，
因此直线OB总会与y=sinx+1的图象相交．
所以M={（x，y）|y=sinx+1}是“垂直对点集”，故②符合题意；
对于③：M={（x，y）|y=2x-2}，其图象过点（0，-1），
且向右向上无限延展，向左向下无限延展，
所以，据图可知，在图象上任取一点A，连OA，
过原点作OA的垂线OB必与y=2x-2的图象相交，即一定存在点B，使得OB⊥OA成立，
故M={（x，y）|y=2x-2}是“垂直对点集”．故③符合题意；
对于④：M={x，y）|y=log2x}，对于函数y=log2x，
取点（1，0），与y轴垂直，所以没有对应点，切点T明显在x轴下方有对应点
所以对切点T，不存在点M，使得OM⊥OT，
所以M={（x，y）|y=log2x}不是“垂直对点集”；故④不符合题意．
故选：D．

点评 本题考查“垂直对点集”的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．

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