Question

【题目】已知四棱锥S﹣ABCD的底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，E是SC上的任意一点．过点E的平面α垂直于平面SAC．

（1）请作出平面α截四棱锥S﹣ABCD的截面（只需作图并写出作法）；
（2）当SA=AB时，求二面角B﹣SC﹣D的大小．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵SA⊥底面ABCD，∴SA⊥BD，

∵底面ABCD是正方形，∴BD⊥AC，

则BD⊥平面SAC，

若点E的平面α垂直于平面SAC，

则平面α 与底面的交线平行于BD即可．

（2）解：如图所示建立空间直角坐标系，

点A为坐标原点，AB，AD，AS所在的直线分别为x，y，z轴．设AB=1．

由题意得B（1，0，0），S（0，0，1），C（1，1，0），D（0，1，0），

=（1，0，﹣1），又 =（1，1，﹣1）

设平面BSC的法向量为 （x1，y1，z1），则

，令z1=1，则 =（1，0，1，

=（0，﹣1，1） =（1，0，0），

设平面SCD的法向量为 =（x2，y2，z2），则

，令y2=1，则 =（0，1，1），

设二面角B﹣SC﹣D的平面角为α，则

|cosα|= = = ．

显然二面角B﹣SC﹣D的平面角为α为钝角，所以α=120°，

即二面角C﹣PB﹣D的大小为120°

【解析】（1）根据条件先证明BD⊥平面SAC，则面α 与底面的交线平行于BD即可；（2）建立空间直角坐标系，求出平面BSC、平面SCD的法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角B﹣SC﹣D的大小．
【考点精析】通过灵活运用平面与平面垂直的性质，掌握两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直即可以解答此题．