Question

【题目】椭圆 的左右焦点分别为F1 ， F2 ， 离心率为 ，过点F1且垂直于x轴的直线被椭圆截得的弦长为 ，直线l：y=kx+m与椭圆交于不同的A，B两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若在椭圆C上存在点Q满足： （O为坐标原点）．求实数λ的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知得 ， ，又a2=b2+c2，联立解得 ．

故所求椭圆C的方程为 ．

（2）解：设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x0，y0）

当λ=0时由 知， ，A与B关于原点对称，存在Q满足题意，∴λ=0成立．

当λ≠0时，设直线AB的方程为y=kx+m．

联立 得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，

由△=（4km）2﹣4（1+2k2）（2m2﹣2）＞0解得m2＜1+2k2…（*）

∴ ， ．

由 ，得（x1+x2，y1+y2）=（λx0，λy0），可得x1+x2=λx0，y1+y2=λy0，

∴ ，

代入到 得到 ，

代入（*）式 ，

由1+2k2＞0得λ2＜4，解得﹣2＜λ＜2且λ≠0．

∴综上λ∈（﹣2，2）．

【解析】（1）由已知得 ， ，又a2=b2+c2 ， 联立解得即可．（2）设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），Q（x0 ， y0），分类讨论：当λ=0时，利用椭圆的对称性即可得出；λ≠0时，设直线AB的方程为y=kx+m．与椭圆的方程联立得到△＞0及根与系数的关系，再利用向量相等，代入计算即可得出．
【考点精析】解答此题的关键在于理解椭圆的标准方程的相关知识，掌握椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：．