Question

 (本题满分15分)椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，并与直线 相切.

(Ⅰ)求椭圆的方程；

(Ⅱ)如图，过圆：上任意一点作椭圆

的两条切线． 求证：．

Answer 1

题解：（Ⅰ）由知

       

椭圆方程可设为 . 又，直线与椭圆相切，代入后方程

满足 .由此得

故椭圆的方程为    ----------------6分

（Ⅱ）设.当时，有一条切线斜率不存在，此时，刚好，可见，另一条切线平行于轴，；   ----------------7分

设，则两条切线斜率存在.设直线的斜率为，则其方程为

即代入并整理得：

                 ---------------9分

由可得：                ---------------11分

注意到直线的斜率也适合这个关系，所以的斜率就是上述方程的两根，由韦达定理，.                                              ---------------13分

由于点在圆：上，，所以这就证明了.

综上所述，过圆上任意一点作椭圆的两条切线，总有.  ------15分