题目内容
( (本题满分15分
)椭圆
的中心在原点，焦点在
轴上，离心率为
，并与直线
相切.
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)如图，过圆
：
上任意一点
作椭圆的两条切线
． 求证：
．
【答案】
即
代入
并整理得：
解：（Ⅰ）由
知
椭圆方程可设为
.
又，直线
与椭圆相切，代入后方程
满足
.由此得
故椭圆
的方程为
----------------6分
（Ⅱ）设
.当
时，有一条切线斜率不存在，此时，刚好
，
可见，另一条切线平行于
轴，
；
----------------7分
设
，则两条切线斜率存在.设直线
的斜率为
，
则其方程为
|
代入并整理得：
---------------9分
由可得：
---------------11分
注意到直线
的斜率也适合这个关系，所以
的斜率
就是上述方程的两根，由韦达定理，
.
---------------13分
由于点
在圆
：
上，
，
所以
这就证明了.
综上所述，过圆上任意一点作椭圆的两条切线，总有. ------15分
【解析】略
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．
在
上单调递增，在
上单调递减，求实数
的最大值；
对任意的
，
都成立，求实数
的取值范围．
为自然对数的底数．
与曲线
相切
在
上恰有两个不等的实数根
，求
的大小
：
（
），焦点为
，直线
交抛物线
、
两点，
是线段
的中点，
轴的垂线交抛物线
，
到焦点
，求此时
的值；
是以
的单调区间；
，若
在
上不单调且仅在
处取得最大值，求
的取值范围．